Diviseurs de a et -a

Propriété

Soit \(a\) , \(b \in \mathbb{Z}\) . Alors  \(b\) divise  \(a\) si, et seulement si,  \(b\) divise \(-a\) .
En d’autres termes,  \(\mathscr{D}(a)=\mathscr{D}(-a)\) .

Démonstration

• Montrons d’abord que si \(b\) divise \(a\) , alors \(b\) divise \(-a\) .
  Supposons que  \(b\)  divise  \(a\) , c’est-à-dire  \(b \in \mathscr{D}(a)\) .
  Il existe  \(k \in \mathbb{Z}\)  tel que  \(a=kb\) , et donc  \(-a=(-k)b\)  avec  \(-k \in \mathbb{Z}\) , donc  \(b\)  divise  \(-a\) .
  On a donc  \(b \in \mathscr{D}(-a)\)  et donc  \(\mathscr{D}(a) \subset \mathscr{D}(-a)\) .
  
• Montrons maintenant que si \(b\) divise \(-a\) , alors \(b\) divise \(a\) .
  Supposons que  \(b\)  divise  \(-a\) , c’est-à-dire  \(b \in \mathscr{D}(-a)\) .
  Il existe  \(k \in \mathbb{Z}\)  tel que  \(-a=kb\) , et donc  \(a=(-k)b\)  avec  \(-k \in \mathbb{Z}\) , donc  \(b\)  divise  \(a\) .
  On a donc  \(b \in \mathscr{D}(a)\)  et donc  \(\mathscr{D}(-a) \subset \mathscr{D}(a)\) .